В работе разработана схема преобразования Лежандра–Фенхеля для напорного капиллярного течения монотонных обобщённых ньютоновских жидкостей. Монотонная нелинейная кривая течения задаёт выпуклый потенциал диссипации, а её преобразование Лежандра–Фенхеля формирует дополнительный потенциал в переменной напряжения. Поскольку распределение напряжения в полностью развитом капиллярном течении известно из уравнения импульса, профиль скорости может быть получен непосредственно из дополнительного потенциала без явного обращения определяющего соотношения. Такой подход переводит моделирование нелинейного капиллярного течения из задачи обращения отдельных реологических моделей в единую конструкцию выпуклой двойственности. Метод воспроизводит параметризованное по скорости сдвига решение Карро–Ясуды, даёт компактные соотношения для средней скорости в круглой и плоской геометриях и распространяется на ряд обобщённых ньютоновских моделей, включая регуляризованные модели сред с пределом текучести. В пределе идеальной среды с пределом текучести образование пробковой зоны естественно следует из субдифференциальной структуры потенциала диссипации. Предложенная схема обеспечивает единое математическое описание аналитических и полуаналитических зависимостей между перепадом давления и расходом в нелинейном капиллярном течении.