Цель данного исследования заключается  в дискретизации (приближении) классических решений уравнения Клейна – Гордона, представимых  в виде абсолютно сходящихся  кратных  функциональных рядов,  и оценки погрешности  дискретизации.  Методология исследования  основана на многочисленных аналогичных  исследованиях  из теории приближений. В  этом  исследовании  получены  следующие результаты: во – первых,  выписан в явном виде  точный порядок  наименьшей  погрешности дискретизации; во – вторых, доказано, что вычислительный агрегат, являющийся суммой  тригонометрических полиномов, определенных на гиперболических   крестах,  реализует точный порядок;  в – третьих, доказано, что любой вычислительный агрегат, построенный  по  N  тригонометрическим коэффициентам Фурье начальных условий, не улучшает установленный  точный порядок  наименьшей  погрешности дискретизации. Значимость данного исследования  заключается в том, что сформулированная  по полученным результатом теорема  является новой в  задачах  дискретизации  классических решений дифференциальных  уравнений в частных производных.