Рассматривается начально-краевая задача для нелинейного уравнения диффузии с временной памятью типа Вольтерра. Такая модель описывает процессы переноса в средах с наследственными (долговременными) эффектами и охватывает, как частные случаи, ряд задач тепломассопереноса. Для численного решения строится неявная двухслойная разностная схема с квадратурным приближением интеграла памяти. Получено дискретное энергетическое тождество, на основе которого устанавливается энергетическая устойчивость схемы при естественных ограничениях на шаг по времени. Нелинейность учитывается с помощью внутренней итерационной линеаризации; на каждой итерации возникает трёхдиагональная система линейных алгебраических уравнений, эффективно решаемая методом прогонки. Строго доказана сходимость схемы и получена оценка скорости сходимости в соответствующей энергетической норме. Численные эксперименты подтверждают теоретические погрешностные оценки и демонстрируют корректное воспроизведение эффектов долговременной памяти.