Большинство физических законов природы можно сформулировать на языке простых и независимых производных уравнений. Примерами служат уравнения Штурма-Лиувилля, Навье-Стокса и уравнения Шредингера в квантовой механике. Во всех этих уравнениях физические явления описываются на языке производных пространства и времени. Наличие производных в уравнениях описывает важные физические величины. Это скорость, ускорение, сила, трение, поток, ток и так далее.  Среди задач, поставленных для дифференциальных уравнений, особое значение имеет класс логически поставленных задач, которые имеют решение, являются единственными, гладкими и непрерывно зависят от начальных условий задачи. Цель этой статьи - определить достаточные условия существования решения уравнения Штурм-Лиувилля с весомым коэффициентом и гладкостью решения. В ходе достижения цели заданное дифференциальное уравнение изучалось методом операторов функциональном пространстве. Задача рассматривалась в Банаховом пространстве, использовались свойства функциональных пространств. Известно, что многие вопросы квантовой механики сводятся к задачам, в которых излучение элетромагнитных волн в гильбертовом пространстве в частном случае определяется наличием обратных операторов сингулярных дифференциальных операторов и разделимостью. Одним из таких операторов является оператор Штурма-Лиувилля с весом при старшей  производной. Данной работе исследуется названный оператор методами функционального анализа. Найденый достаточные условия существовании решении и разделимости оператора в Банаховом пространстве.