Решение многих задач современной теории простых чисел позволяет, с одной стороны, углубить представление о том, как развивать фундаментальные основы математики, а с другой - создавать более эффективные арифметические методы построения быстрых алгоритмов или дискретных ортогональных преобразований при анализе и обработке сложных данных. Одной из проблем современной математики в совокупности с криптографией является задача поиска первообразных (примитивных) корней. В данной статье рассмотрена задача вычисления множества всех первообразных корней произвольного простого числа p. Кроме того, описана важность данной задачи в современном мире, в частности, использование теории первообразных корней в криптографии. Построен алгоритм проверки натурального числа n на свойство быть первообразным корнем заданного простого числа. В ходе работы установлено, что существуют неспецифические рекурсивные циклы, исследованы свойства структур рекурсивных циклов первообразных корней. Доказано, что все первообразные корни любого простого числа образуют пары, в которых рекурсивный цикл одного является инверсией рекурсивного цикла другого элемента пары. Приведены примеры первообразных корней и их внутренних циклов, а также инверсионные пары. Данное свойство примитивных корней не отмечалось ранее в литературе. В ходе работы также исследованы возможности представления рекурсивных циклов в двумерном пространстве. Результаты представлены в виде графиков инверсионных пар первообразных корней простых чисел. Показано, что рекурсивные циклы образуют динамические процессы. Доказано, что динамические процессы имеют хаотический характер, исследование которого является важной задачей теории динамических систем. В дальнейшем планируется детально исследовать структуру внутренних циклов для пар чисел. Анализ таких структур является шагом к решению сложных теоретико–математических задач и задач криптографии, где используются примитивные корни.