Қазіргі жай сандар теориясының көптеген мәселелерін шешу, бір жағынан, математиканың іргелі негіздерін қалай дамыту керектігі туралы идеяны тереңдетуге, екінші жағынан, күрделі деректерді талдау және өңдеу кезінде жылдам алгоритмдерді немесе дискретті ортогональды түрлендірулерді құрудың тиімді арифметикалық әдістерін жасауға мүмкіндік береді. Қазіргі математика мен криптография проблемаларының бірі-алғашқы (примитивті) түбірлерді табу есебі болып табылады. Ұсынылған мақалада кездейсоқ р жай санының барлық алғашқы түбірлері жиынтығын есептеу есебі қарастырылған. Сонымен қатар, қазіргі әлемде бұл мәселенің маңыздылығы, атап айтқанда криптографияда алғашқы түбірлер теориясын қолдану мәселелері сипатталған. Берілген жай санның алғашқы түбірі болу қасиетіне n натурал санды тексеру алгоритмі құрылды. Жұмыс барысында спецификалық емес рекурсивті циклдар бар екендігі анықталды, алғашқы түбірлердің рекурсивті циклдерінің құрылымдарының қасиеттері зерттелді. Кез-келген жай санның барлық алғашқы түбірлері жұптарды құрайтындығы дәлелденді, онда біреуінің рекурсивті циклі жұптың басқа элементінің рекурсивті циклінің инверсиясы болып табылады. Қарапайым түбірлер мен олардың ішкі циклдерінің мысалдары, сондай-ақ инверсиялық жұптар келтірілген. Алғашқы түбірлердің бұл қасиеті бұрын әдебиетте атап өтілмеген. Жұмыс барысында екі өлшемді кеңістіктегі рекурсивті циклдерді ұсыну мүмкіндіктері де зерттелді. Нәтижелер қарапайым сандардың алғашқы түбірлерінің инверсиялық жұптарының графигі түрінде ұсынылған. Рекурсивті циклдер динамикалық процестерді құрайтыны көрсетілген. Динамикалық процестер хаотикалық сипатқа ие екендігі дәлелденді, оны зерттеу динамикалық жүйелер теориясының маңызды есебі болып табылады. Болашақта жұп сандар үшін ішкі циклдердің құрылымын егжей-тегжейлі зерттеу жоспарлануда. Мұндай құрылымдарды талдау күрделі теориялық және математикалық есептер мен алғашқы түбірлер қолданылатын криптография есептерін шешуге қадам болып табылады.