В теории многопериодических систем уравнений с оператором D  важное значение имеет необходимое и достаточное условие многопериодичности их решений. Но такое условие представляется в виде систем уравнений в конечных разностях, рассматриваемых в пространстве гладких многопериодических функций. Для решения задач такого характера применение известных методов функционального анализа является проблемным. Главная помеха в данном вопросе – отсутствие периодических характеристик оператора D в евклидовом пространстве с декартовыми координатами. Действительно, когда переходим от начальной задачи для системы с оператором D к эквивалентной интегральной системе приходится рассматривать ее вдоль характеристик оператора дифференцирования. Тогда соответствующая подынтегральная функция перестает быть многопериодической из-за непериодичности характеристик, когда неизвестная функция принадлежит классу многопериодических функций. Выход из такой ситуации возможен, если изменим векторное поле оператора дифференцирования на более сложное геометрическое образование, обеспечивающее периодичность характеристик. В связи с этим в настоящей работе в качестве векторного поля оператора D рассматриваются: окружность, тор и бесконечная цилиндрическая поверхность, где изучен вопрос о периодичности характеристик. Очевидно, что окончательный выбор многообразия зависит от характера задач для систем с оператором дифференцирования D. Забегая вперед, отметим, что для наших целей является целесообразным рассмотрение систем с данным оператором на цилиндрической поверхности. В данном исследовании приведены основные необходимые свойства периодических характеристик, касающиеся преобразований однопараметрического семейства группы. Основные вопросы досконально изучены для двухмерного случая характеристических систем, а затем распространены на многомерный случай. Для интегрирования многопериодических функций важно рассмотрение разверток винтовых линий на плоскость, которому уделено определенное внимание. Также установлены достаточные условия многопериодичности характеристик более общего оператора дифференцирования по направлениям постоянных векторов.