Решение многих задач современной теории простых чисел позволяет, с одной стороны, углубить представление о том, как развивать фундаментальные основы математики, а с другой - создавать более эффективные арифметические методы построения быстрых алгоритмов или дискретных ортогональных преобразований при анализе и обработке сложных данных. Одной из проблем современной математики в совокупности с криптографией является задача поиска первообразных (примитивных) корней. В данной статье рассмотрена задача вычисления множества всех первообразных корней произвольного простого числа p. Кроме того, описана важность данной задачи в современном мире, в частности, использование теории первообразных корней в криптографии. Построен алгоритм проверки натурального числа n на свойство быть первообразным корнем заданного простого числа. В ходе работы установлено, что существуют неспецифические рекурсивные циклы, исследованы свойства структур рекурсивных циклов первообразных корней. Доказано, что все первообразные корни любого простого числа образуют пары, в которых рекурсивный цикл одного является инверсией рекурсивного цикла другого элемента пары. Приведены примеры первообразных корней и их внутренних циклов, а также инверсионные пары. Данное свойство примитивных корней не отмечалось ранее в литературе. В ходе работы также исследованы возможности представления рекурсивных циклов в двумерном пространстве. Результаты представлены в виде графиков инверсионных пар первообразных корней простых чисел. Показано, что рекурсивные циклы образуют динамические процессы. Доказано, что динамические процессы имеют хаотический характер, исследование которого является важной задачей теории динамических систем. В дальнейшем планируется детально исследовать структуру внутренних циклов для пар чисел. Анализ таких структур является шагом к решению сложных теоретико–математических задач и задач криптографии, где используются примитивные корни.
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ СТРУКТУР РЕКУРСИВНЫХ ЦИКЛОВ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ
Опубликован September 2023
Аннотация
Язык
Рус
Ключевые слова
примитивный корень
циклическая группа
группа перестановок
простое число
рекурсивный цикл
Как цитировать
[1]
Турусбекова, У., Муратбеков, М., Алтынбек, С. и Ахатова, Ж. 2023. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ СТРУКТУР РЕКУРСИВНЫХ ЦИКЛОВ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ. Вестник КазНПУ имени Абая, Серия «Физико-математические науки». 83, 3 (сен. 2023), 59–66. DOI:https://doi.org/10.51889/2959-5894.2023.83.3.007.